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¡Entendido!

Función inversa

Contenido de esta página:

0. Definición de función
1. Definición informal de inversa
2. Definiciones previas
3. Definición de función inversa
4. Cuestiones sobre la inversa
5. Obtención de la inversa
6. Problemas resueltos

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0. Definición de función

Una función de variable real, $f:A\to B$, es una relación entre dos conjuntos $A$ y $B$ de los números reales que a cada número $x$ de $A$ le hace corresponder un único número de $B$, denotado por $f\left(x\right)$ y llamado imagen de $x$ mediante $f$.

De ahora en adelante, supondremos $f:A\to B$, siendo $A$ y $B$ subconjuntos de los números reales $R$. $A$ es el dominio de $f$ y $B$ es su codominio.
Nota: $B$ es el codominio y cumple $f\left(A\right)\subseteq B$. El conjunto $f\left(A\right)$ es la imagen de $f$.

1. Definición informal de inversa

Informalmente, la función inversa de $f$ es la función $f^{-1}:B\to A$ tal que dado un número $y$ de $B$, permite conocer el número $x$ de $A$ tal que $y=f\left(x\right)$. Se escribe $f^{-1}\left(y\right)=x$.
Ejemplo:
Si $f\left(x\right)=2x$, su inversa es $f^{-1}\left(x\right)=x/2$. Por ejemplo,
$$f^{-1}\left(8\right)=8/2=4$$
En efecto, la imagen de 4 es 8:
$$f\left(4\right)=2\cdot 4=8$$

2. Definiciones previas

Ejemplo introductorio:
La función $f\left(x\right)=x^2$ no tiene inversa ya que, por ejemplo, $f^{-1}\left(4\right)$ podría ser $f^{-1}\left(4\right)=2$ o bien $f^{-1}\left(4\right)=-2$:

Nota: si restringimos el dominio de $f$ a los reales no negativos o a los no positivos, la función sí tiene inversa.

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Teniendo en cuenta la definición dada para una función $f$, como $f^{-1}$ también es una función, debe exigirse que cada número $y$ de $B$ tenga una única imagen $x=f^{-1}\left(y\right)$ en $A$. Al número $x$ tal que $f^{-1}\left(y\right)=x$ se le denomina anti-imagen de $y$ mediante $f$.
Matemáticamente, esta exigencia de la unicidad de la anti-imagen (para que sea una función) se traduce exigiendo que la función $f$ sea inyectiva:

La función $f:A\to B$ es inyectiva si cumple
$$f\left(x\right)=f\left(y\right)\leftrightarrow x=y,\forall x,y\in A$$
Es decir, $f$ es inyectiva si: la imagen de dos números de $A$ son iguales si, y solamente si, dichos números de $A$ son el mismo número.

Asimismo, como función, la inversa $f^{-1}$ debe proporcionar la anti-imagen de todos los números de $B$. Sin embargo, esto no es posible si algún número de $B$ no es la imagen de algún número de $A$.
Matemáticamente, este problema se soluciona exigiendo que la función $f$ sea sobreyectiva (o suprayectiva):

La función $f:A\to B$ es sobreyectiva (o suprayectiva) si cumple
$$\forall y\in B,\exists x\in A,f\left(x\right)=y$$
Es decir, $f$ es sobreyectiva si todo número de $B$ es la imagen mediante $f$ de algún número de $A$.

Debido a la importancia de la inyectividad y sobreyectividad de una función simultáneamente, existe una definición que considera ambas propiedades:

La función $f:A\to B$ es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

3. Definición de inversa

Veamos la definición formal de función inversa:

La función inversa $f^{-1}$ de una función biyectiva $f:A\to B$ es la la función $f^{-1}:B\to A$ que cumple
$$f^{-1}\left(f\right(x\left)\right)=x,\forall x\in A$$
$$f\left(f^{-1}\right(y\left)\right)=y,\forall y\in B$$
Dicho en otras palabras,
$$f^{-1}\circ f=i{d}_A$$
$$f\circ f^{-1}=i{d}_B$$
donde $i{d}_A$ es la función identidad de $A$:
$$i{d}_A:A\to A$$
$$i{d}_A\left(x\right)=x,\forall x\in A$$
e $i{d}_B$ es la función identidad de $B$:
$$i{d}_B:B\to B$$
$$i{d}_B\left(y\right)=y,\forall y\in B$$

4. Cuestiones sobre la inversa

Cuestión 1

Si $f^{-1}:B\to A$ cumple las condiciones dadas en la definición de función inversa de $f$, ¿es realmente la inversa de $f$? Es decir, ¿$f^{-1}$ proporciona las anti-imágenes de $f$?

Supongamos que $x$ es un número de $A$. Entonces, tiene una imagen mediante $f$:
$$\exists y=f\left(x\right)\in B$$
En efecto, $f^{-1}$ proporciona la anti-imagen de $y$ aplicando la primera condición:
$$f^{-1}\left(y\right)=f^{-1}\left(f\right(x\left)\right)=x$$

Cuestión 2:

¿La función inversa es única?

La respuesta es sí. Veamos el razonamiento:
Supongamos que la función $g:B\to A$ cumple las condiciones de la inversa de $f$.
Sea $y$ un número de $B$. Como $f$ es biyectiva, existe un número $x$ de $A$ tal que $y=f\left(x\right)$.
Se tiene que
$$g\left(y\right)=x$$
Pero también,
$$f^{-1}\left(y\right)=x$$
Por tanto,
$$g\left(y\right)=f^{-1}\left(y\right),\forall y\in B$$
Esto demuestra que la inversa es única puesto que la imagen de cualquier número $y$ de $B$ mediante $g$ coincide con la imagen mediante $f^{-1}$. Es decir, las funciones son iguales porque están definidas entre los mismos conjuntos y la imagen de cada número de $B$ coincide.

5. Obtención de la inversa

La definición de la inversa no indica cómo calcular la inversa de una función dada. El método que suele utilizarse es:
Si la expresión de$f:A\to B$ es función de $x$, $y=f\left(x\right)$, es suficiente con aislar $x$. Después, se cambia la $x$ por la $y$ y viceversa para obtener $y=f^{-1}\left(x\right)$.
Ejemplo:
Sea la función biyectiva
$$f\left(x\right)=\frac{2x+1}{5}$$

Para calcular $f^{-1}$, aislamos $x$:
$$y=\frac{2x+1}{5}\to$$
$$5y=2x+1\to$$
$$5y-1=2x\to$$
$$x=\frac{5y-1}{2}$$
Cambiamos $x$ por $y$:
$$y=\frac{5x-1}{2}\to$$
$$f^{-1}\left(x\right)=\frac{5x-1}{2}$$

Para comprobar que $f^{-1}$ es la inversa de $f$, hay que comprobar que se cumple
$$f^{-1}\left(f\right(x\left)\right)=x,\forall x\in A$$
$$f\left(f^{-1}\right(y\left)\right)=y,\forall y\in B$$

6. Problemas Resueltos

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Problema 1

Determinar cuáles de las siguientes funciones tienen o no tienen inversa y por qué. No es necesario calcular la inversa:

• $f_1:R\to R$ definida por
  $$f_1\left(x\right)=x$$
  
  
• $f_2:R\to R$ definida por
  $$f_2\left(x\right)=-x$$
  
  
• $f_3:R\to R$ definida por
  $$f_3\left(x\right)=x^2$$
  
  
• $f_4:R-\{\pm 1\}\to R$ definida por
  $$f_4\left(x\right)=\frac{2}{x^2-1}$$
  
  
• $f_5:\left[0,+\infty \right)\to R$ definida por
  $$f_5\left(x\right)=\sqrt{x}$$
  
  
• $f_6::R-\{-1\}\to R$ definida por
  $$f_6\left(x\right)=\frac{x^2}{x+1}$$
  
  
  Ayuda: considerar $f^{-1}(-1)$.

Solución

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Problema 2

La biyectividad y, por tanto, la existencia de función inversa, depende de los conjuntos $A$ y $B$ entre los que se define una función.
Las siguientes funciones $f:A\to B$ son sobreyectivas, pero no tienen inversa porque no son inyectivas. Encontrar, para cada función, el mayor dominio $C\subset A$ para que las funciones $f_{|C}$ sí tengan inversa.
$$f_{|C}:C\to B$$
$$f_{|C}\left(x\right)=f\left(x\right),\forall x\in C$$
Nota: la función $f_{|C}$ es la función $f$ restringida al subconjunto $C$ del dominio $A$ de $f$.
Funciones:

• $f_1:R\to \left[0,+\infty \right)$ definida por
  $$f_1\left(x\right)=x^2$$
  
  
• $f_2:R\to \left[0,+\infty \right)$ definida por
  $$f_2\left(x\right)=|x|$$
  
  
• $f_3:R\to \left[-1,+\infty \right)$ definida por
  $$f_3\left(x\right)=x^2-1$$
  
  
• $f_4:R-\left\{0\right\}\to \left(0,+\infty \right)$ definida por
  $$f_4\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$$
  
  
• $f_5,f_6:\left[-2\pi ,2\pi \right]\to \left[-1,1\right]$ definidas por
  $$f_5\left(x\right)=cos\left(x\right)$$
  
  
  $$f_6\left(x\right)=sin\left(x\right)$$
  
  

Solución

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Problema 3

Encontrar la inversa de la siguiente función y demostrar (o comprobar) que lo es:
$$f_1\left(x\right)=x^3$$

Solución

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Problema 4

Encontrar la inversa de la siguiente función y demostrar (o comprobar) que lo es:
$$f_2\left(x\right)=x^4$$

Solución

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Problema 5

Encontrar la inversa de la siguiente función y demostrar (o comprobar) que lo es:
$$f_3\left(x\right)=1+\frac{x}{2}+\frac{2x}{3}+\frac{3x}{5}$$

Solución

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Problema 6

Encontrar la inversa de la siguiente función y demostrar (o comprobar) que lo es:
$$f_4\left(x\right)=x^2-6x+9$$

Solución

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Problema 7

Encontrar la inversa de la siguiente función y demostrar (o comprobar) que lo es:
$$f_5\left(x\right)=\frac{2}{1-3x^2}$$

Solución

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Problema 8

Encontrar la inversa de la siguiente función y demostrar (o comprobar) que lo es:
$$f_6\left(x\right)=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$$

Solución

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Problema 9

Relacionar las siguientes funciones

• $f_1\left(x\right)=sin\left(x\right)$
• $f_2\left(x\right)=e^x$
• $f_3\left(x\right)=\sqrt[3]{3x}$
• $f_4\left(x\right)=\frac{1}{x}$
• $f_5\left(x\right)=tan\left(x\right)$
• $f_6\left(x\right)=x$
• $f_7\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}$

con su función inversa:

• $f_a\left(x\right)=x^3$
• $f_b\left(x\right)=arctan\left(x\right)$
• $f_c\left(x\right)=ln\left(x\right)$
• $f_d\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$
• $f_e\left(x\right)=arcsin\left(x\right)$
• $f_f\left(x\right)=1/x$
• $f_g\left(x\right)=x$

Solución

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