Función inversa
Contenido de esta página:
- Definición de función
- Definición informal de inversa
- Definiciones previas
- Definición de función inversa
- Cuestiones sobre la inversa
- Obtención de la inversa
- Problemas resueltos
0. Definición de función
Una función de variable real, , es una relación entre dos conjuntos y de los números reales que a cada número de le hace corresponder un único número de , denotado por y llamado imagen de mediante .
De ahora en adelante, supondremos , siendo y subconjuntos de los números reales . es el dominio de y es su codominio.Nota: es el codominio y cumple . El conjunto es la imagen de .
1. Definición informal de inversa
Informalmente, la función inversa de es la función tal que dado un número de , permite conocer el número de tal que . Se escribe .
Ejemplo:
Si , su inversa es . Por ejemplo,
En efecto, la imagen de 4 es 8:
Ejemplo:
Si , su inversa es . Por ejemplo,
En efecto, la imagen de 4 es 8:
2. Definiciones previas
Ejemplo introductorio:
La función no tiene inversa ya que, por ejemplo, podría ser o bien :
Nota: si restringimos el dominio de a los reales no negativos o a los no positivos, la función sí tiene inversa.
Teniendo en cuenta la definición dada para una función , como también es una función, debe exigirse que cada número de tenga una única imagen en . Al número tal que se le denomina anti-imagen de mediante .
Matemáticamente, esta exigencia de la unicidad de la anti-imagen (para que sea una función) se traduce exigiendo que la función sea inyectiva:
Matemáticamente, este problema se soluciona exigiendo que la función sea sobreyectiva (o suprayectiva):
La función no tiene inversa ya que, por ejemplo, podría ser o bien :
Teniendo en cuenta la definición dada para una función , como también es una función, debe exigirse que cada número de tenga una única imagen en . Al número tal que se le denomina anti-imagen de mediante .
Matemáticamente, esta exigencia de la unicidad de la anti-imagen (para que sea una función) se traduce exigiendo que la función sea inyectiva:
La función es inyectiva si cumple
Es decir, es inyectiva si: la imagen de dos números de son iguales si, y solamente si, dichos números de son el mismo número.
Asimismo, como función, la inversa debe proporcionar la anti-imagen de todos los números de . Sin embargo, esto no es posible si algún número de no es la imagen de algún número de .Es decir, es inyectiva si: la imagen de dos números de son iguales si, y solamente si, dichos números de son el mismo número.
Matemáticamente, este problema se soluciona exigiendo que la función sea sobreyectiva (o suprayectiva):
La función es sobreyectiva (o suprayectiva) si cumple
Es decir, es sobreyectiva si todo número de es la imagen mediante de algún número de .
Debido a la importancia de la inyectividad y sobreyectividad de una función simultáneamente, existe una definición que considera ambas propiedades:Es decir, es sobreyectiva si todo número de es la imagen mediante de algún número de .
La función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
3. Definición de inversa
Veamos la definición formal de función inversa:
La función inversa de una función biyectiva es la la función que cumple
Dicho en otras palabras,
donde es la función identidad de :
e es la función identidad de :
Dicho en otras palabras,
donde es la función identidad de :
e es la función identidad de :
4. Cuestiones sobre la inversa
Cuestión 1
Si cumple las condiciones dadas en la definición de función inversa de , ¿es realmente la inversa de ? Es decir, ¿ proporciona las anti-imágenes de ?En efecto, proporciona la anti-imagen de aplicando la primera condición:
Cuestión 2:
¿La función inversa es única?Supongamos que la función cumple las condiciones de la inversa de .
Sea un número de . Como es biyectiva, existe un número de tal que .
Se tiene que
Pero también,
Por tanto,
Esto demuestra que la inversa es única puesto que la imagen de cualquier número de mediante coincide con la imagen mediante . Es decir, las funciones son iguales porque están definidas entre los mismos conjuntos y la imagen de cada número de coincide.
5. Obtención de la inversa
La definición de la inversa no indica cómo calcular la inversa de una función dada. El método que suele utilizarse es:
Si la expresión de es función de , , es suficiente con aislar . Después, se cambia la por la y viceversa para obtener .
Ejemplo:
Sea la función biyectiva
Para calcular , aislamos :
Cambiamos por :
Si la expresión de es función de , , es suficiente con aislar . Después, se cambia la por la y viceversa para obtener .
Ejemplo:
Sea la función biyectiva
Cambiamos por :
Para comprobar que es la inversa de , hay que comprobar que se cumple
6. Problemas Resueltos
Problema 1
Determinar cuáles de las siguientes funciones tienen o no tienen inversa y por qué. No es necesario calcular la inversa:- definida por
- definida por
- definida por
- definida por
- definida por
- definida por
Solución
Problema 2
La biyectividad y, por tanto, la existencia de función inversa, depende de los conjuntos y entre los que se define una función.Las siguientes funciones son sobreyectivas, pero no tienen inversa porque no son inyectivas. Encontrar, para cada función, el mayor dominio para que las funciones sí tengan inversa.
Nota: la función es la función restringida al subconjunto del dominio de .
Funciones:
- definida por
- definida por
- definida por
- definida por
- definidas por
Solución
Problema 3
Encontrar la inversa de la siguiente función y demostrar (o comprobar) que lo es:
Solución
Problema 4
Encontrar la inversa de la siguiente función y demostrar (o comprobar) que lo es:
Solución
Problema 5
Encontrar la inversa de la siguiente función y demostrar (o comprobar) que lo es:
Solución
Problema 6
Encontrar la inversa de la siguiente función y demostrar (o comprobar) que lo es:
Solución
Problema 7
Encontrar la inversa de la siguiente función y demostrar (o comprobar) que lo es:
Solución
Problema 8
Encontrar la inversa de la siguiente función y demostrar (o comprobar) que lo es:
Solución
Problema 9
Relacionar las siguientes funciones
Solución
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